Ecuaciones de primer grado: cómo resolverlas paso a paso

Una ecuación de primer grado (o ecuación lineal) es una igualdad con una incógnita, normalmente x, elevada a la potencia 1. Resolverla es encontrar el valor de x que hace que la igualdad sea cierta. Por ejemplo, en 3x + 5 = 20 la solución es x = 5, porque 3 · 5 + 5 = 20.

La idea clave: la balanza

Todo lo que hagas a un lado de la ecuación lo tienes que hacer también al otro: sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número. Cuando se dice "pasar un número al otro lado con la operación contraria", en realidad se está haciendo eso mismo.

Pasos para resolver una ecuación de primer grado

1. Quitar paréntesis aplicando la propiedad distributiva.
2. Quitar denominadores multiplicando toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm).
3. Agrupar: los términos con x a un lado y los números al otro.
4. Reducir términos semejantes.
5. Despejar x dividiendo entre su coeficiente.
6. Comprobar sustituyendo el resultado en la ecuación original.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: ecuación sencilla

3x + 5 = 20

3x = 20 − 5 → 3x = 15 → x = 15 ÷ 3 → x = 5.

Comprobación: 3 · 5 + 5 = 15 + 5 = 20 ✓

Ejemplo 2: x en los dos lados

5x − 7 = 2x + 11

5x − 2x = 11 + 7 → 3x = 18 → x = 6.

Comprobación: 5 · 6 − 7 = 23 y 2 · 6 + 11 = 23 ✓

Ejemplo 3: con paréntesis

2(x − 3) + 4 = 3(x + 1) − 8

Quitamos paréntesis: 2x − 6 + 4 = 3x + 3 − 8 → 2x − 2 = 3x − 5.

Agrupamos: 2x − 3x = −5 + 2 → −x = −3 → x = 3.

Comprobación: 2(0) + 4 = 4 y 3(4) − 8 = 4 ✓

Ejemplo 4: con fracciones

x/2 + x/3 = 10

El mcm de 2 y 3 es 6. Multiplicamos cada término por 6: 3x + 2x = 60 → 5x = 60 → x = 12.

Comprobación: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10 ✓

Ejemplo 5: problema de números consecutivos

La suma de tres números consecutivos es 72. ¿Cuáles son?

Si el primero es x, los otros son x + 1 y x + 2: x + (x + 1) + (x + 2) = 72 → 3x + 3 = 72 → 3x = 69 → x = 23.

Los números son 23, 24 y 25.

Ejemplo 6: problema de edades

Ana tiene el triple de la edad de su hijo. Dentro de 10 años tendrá el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?

Hijo: x. Ana: 3x. Dentro de 10 años: 3x + 10 = 2(x + 10) → 3x + 10 = 2x + 20 → x = 10.

El hijo tiene 10 años y Ana 30. Comprobación: dentro de 10 años tendrán 20 y 40, y 40 es el doble de 20 ✓

Errores comunes

• Cambiar mal el signo al pasar un término al otro lado: lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando.
• Multiplicar solo una parte al quitar denominadores: hay que multiplicar todos los términos, también los que no tienen fracción.
• El signo menos antes de un paréntesis: −(x − 4) = −x + 4. El signo cambia todos los términos de adentro.
• No comprobar: sustituir toma 30 segundos y evita perder puntos.

Ejercicios para practicar

1. 4x − 9 = 3
2. 7 − 2x = x − 8
3. (x + 1)/4 = (x − 2)/2
4. El perímetro de un rectángulo es 46 cm y el largo mide 5 cm más que el ancho. ¿Cuánto mide cada lado?

Respuestas: 1) x = 3. 2) x = 5. 3) x = 5. 4) Ancho 9 cm y largo 14 cm, porque 2(a + a + 5) = 46.

Preguntas frecuentes

¿Por qué se llama de primer grado?

Porque el mayor exponente de la incógnita es 1. Si aparece x², la ecuación es de segundo grado o cuadrática.

¿Una ecuación de primer grado puede no tener solución?

Sí. Si al reducir queda algo falso como 0 = 5, no tiene solución. Si queda algo siempre cierto como 0 = 0, tiene infinitas soluciones.

¿En qué grado se ven las ecuaciones de primer grado?

En Guatemala se empiezan a ver en Básicos y se usan en todos los cursos de matemática siguientes, así que conviene dominarlas bien.

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