Derivadas: reglas básicas y ejercicios resueltos paso a paso
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La derivada de una función mide qué tan rápido cambia la función en cada punto. Gráficamente, es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Se escribe f '(x) o dy/dx y se calcula con reglas que evitan usar el límite cada vez.
Definición de derivada
f '(x) = límh→0 [ f(x + h) − f(x) ] / h
Por ejemplo, para f(x) = x2: [(x + h)2 − x2] / h = (2xh + h2) / h = 2x + h, y cuando h → 0 queda f '(x) = 2x. Las reglas de abajo dan el mismo resultado mucho más rápido.
Tabla de derivadas básicas
| Función | Derivada |
|---|---|
| c (constante) | 0 |
| xn | n · xn−1 |
| √x | 1 / (2√x) |
| ex | ex |
| ln x | 1 / x |
| sen x | cos x |
| cos x | −sen x |
| tan x | sec2 x |
Reglas de derivación
| Regla | Fórmula |
|---|---|
| Constante por función | (c · f)' = c · f ' |
| Suma y resta | (f ± g)' = f ' ± g' |
| Producto | (f · g)' = f ' · g + f · g' |
| Cociente | (f / g)' = (f ' · g − f · g') / g2 |
| Cadena | [f(g(x))]' = f '(g(x)) · g'(x) |
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1: polinomio (regla de la potencia)
f(x) = 3x4 − 5x2 + 7x − 2
Derivamos término por término: 3 · 4x3 − 5 · 2x + 7 − 0.
f '(x) = 12x3 − 10x + 7
Ejercicio 2: regla del producto
f(x) = x2 · sen x
Con f = x2 (f ' = 2x) y g = sen x (g' = cos x):
f '(x) = 2x · sen x + x2 · cos x
Ejercicio 3: regla del cociente
f(x) = (2x + 1) / (x − 3)
Arriba: 2x + 1 (derivada 2). Abajo: x − 3 (derivada 1).
f '(x) = [2(x − 3) − (2x + 1)(1)] / (x − 3)2 = (2x − 6 − 2x − 1) / (x − 3)2
f '(x) = −7 / (x − 3)2
Ejercicio 4: regla de la cadena
f(x) = (3x2 + 1)5
Función de afuera: u5, su derivada es 5u4. Función de adentro: u = 3x2 + 1, su derivada es 6x.
f '(x) = 5(3x2 + 1)4 · 6x = 30x(3x2 + 1)4
Ejercicio 5: recta tangente
Encuentra la recta tangente a f(x) = x2 en x = 3.
El punto es (3, f(3)) = (3, 9). La pendiente es f '(3) = 2 · 3 = 6.
Ecuación punto-pendiente: y − 9 = 6(x − 3) → y = 6x − 9.
Errores comunes
- Derivar el producto como producto de derivadas: (f · g)' no es f ' · g'.
- Olvidar multiplicar por la derivada de adentro en la regla de la cadena.
- El orden en el cociente: es f ' · g − f · g', no al revés; si lo inviertes, cambia el signo.
- Derivar mal las constantes: la derivada de 7 es 0, pero la de 7x es 7.
Ejercicios para practicar
- f(x) = 4x3 − 2x
- f(x) = x · ex
- f(x) = sen(5x)
- f(x) = ln(x2 + 1)
Respuestas: 1) 12x2 − 2. 2) ex + x · ex. 3) 5 cos(5x). 4) 2x / (x2 + 1).
Preguntas frecuentes
¿Para qué sirven las derivadas?
Para calcular velocidades y tasas de cambio, encontrar máximos y mínimos (optimización), trazar gráficas y aproximar funciones. Se usan en física, economía e ingeniería.
¿Qué necesito saber antes de aprender derivadas?
Álgebra (factorizar, simplificar, exponentes), funciones y la idea de límite. La mayoría de errores en derivadas son en realidad errores de álgebra.
¿En qué curso se ven las derivadas?
En Cálculo 1 o Matemática Básica 2 de la mayoría de carreras de ingeniería, economía y ciencias.
¿Tienes un parcial de Cálculo?
Si las derivadas o los límites se te complican, un tutor puede revisar contigo tus hojas de trabajo y parciales anteriores. En Clases y Tutores damos clases de cálculo en línea, 1 a 1 por videollamada, con diagnóstico gratis.
