# Derivadas: reglas básicas y ejercicios resueltos paso a paso

Publicado: 2026-10-27 · Actualizado: 2026-10-27 · Categoría: Guías de estudio

La **derivada** de una función mide qué tan rápido cambia la función en cada punto. Gráficamente, es la **pendiente de la recta tangente** a la curva en ese punto. Se escribe f '(x) o dy/dx y se calcula con reglas que evitan usar el límite cada vez.

## Definición de derivada

> f '(x) = límh→0 \[ f(x + h) − f(x) \] / h

Por ejemplo, para f(x) = x2: \[(x + h)2 − x2\] / h = (2xh + h2) / h = 2x + h, y cuando h → 0 queda **f '(x) = 2x**. Las reglas de abajo dan el mismo resultado mucho más rápido.

## Tabla de derivadas básicas

| Función       | Derivada  |
| ------------- | --------- |
| c (constante) | 0         |
| xn            | n · xn−1  |
| √x            | 1 / (2√x) |
| ex            | ex        |
| ln x          | 1 / x     |
| sen x         | cos x     |
| cos x         | −sen x    |
| tan x         | sec2 x    |

## Reglas de derivación

| Regla                 | Fórmula                            |
| --------------------- | ---------------------------------- |
| Constante por función | (c · f)' = c · f '                 |
| Suma y resta          | (f ± g)' = f ' ± g'                |
| Producto              | (f · g)' = f ' · g + f · g'        |
| Cociente              | (f / g)' = (f ' · g − f · g') / g2 |
| Cadena                | \[f(g(x))\]' = f '(g(x)) · g'(x)   |

## Ejercicios resueltos

### Ejercicio 1: polinomio (regla de la potencia)

f(x) = 3x4 − 5x2 \+ 7x − 2

Derivamos término por término: 3 · 4x3 − 5 · 2x + 7 − 0.

**f '(x) = 12x3 − 10x + 7**

### Ejercicio 2: regla del producto

f(x) = x2 · sen x

Con f = x2 (f ' = 2x) y g = sen x (g' = cos x):

**f '(x) = 2x · sen x + x2 · cos x**

### Ejercicio 3: regla del cociente

f(x) = (2x + 1) / (x − 3)

Arriba: 2x + 1 (derivada 2). Abajo: x − 3 (derivada 1).

f '(x) = \[2(x − 3) − (2x + 1)(1)\] / (x − 3)2 \= (2x − 6 − 2x − 1) / (x − 3)2

**f '(x) = −7 / (x − 3)2**

### Ejercicio 4: regla de la cadena

f(x) = (3x2 \+ 1)5

Función de afuera: u5, su derivada es 5u4. Función de adentro: u = 3x2 \+ 1, su derivada es 6x.

f '(x) = 5(3x2 \+ 1)4 · 6x = **30x(3x2 \+ 1)4**

### Ejercicio 5: recta tangente

Encuentra la recta tangente a f(x) = x2 en x = 3.

El punto es (3, f(3)) = (3, 9). La pendiente es f '(3) = 2 · 3 = 6.

Ecuación punto-pendiente: y − 9 = 6(x − 3) → **y = 6x − 9**.

![Parábola y = x² con su recta tangente y = 6x − 9 en el punto (3, 9)](/media/90007)

La derivada en x = 3 es la pendiente de la recta que toca la parábola en (3, 9).

## Errores comunes

- **Derivar el producto como producto de derivadas:** (f · g)' no es f ' · g'.
- **Olvidar multiplicar por la derivada de adentro** en la regla de la cadena.
- **El orden en el cociente:** es f ' · g − f · g', no al revés; si lo inviertes, cambia el signo.
- **Derivar mal las constantes:** la derivada de 7 es 0, pero la de 7x es 7.

## Ejercicios para practicar

1. f(x) = 4x3 − 2x
2. f(x) = x · ex
3. f(x) = sen(5x)
4. f(x) = ln(x2 \+ 1)

**Respuestas:** 1) 12x2 − 2\. 2) ex \+ x · ex. 3) 5 cos(5x). 4) 2x / (x2 \+ 1).

## Preguntas frecuentes

### ¿Para qué sirven las derivadas?

Para calcular velocidades y tasas de cambio, encontrar máximos y mínimos (optimización), trazar gráficas y aproximar funciones. Se usan en física, economía e ingeniería.

### ¿Qué necesito saber antes de aprender derivadas?

Álgebra (factorizar, simplificar, exponentes), funciones y la idea de límite. La mayoría de errores en derivadas son en realidad errores de álgebra.

### ¿En qué curso se ven las derivadas?

En Cálculo 1 o Matemática Básica 2 de la mayoría de carreras de ingeniería, economía y ciencias.

## ¿Tienes un parcial de Cálculo?

Si las derivadas o los límites se te complican, un tutor puede revisar contigo tus hojas de trabajo y parciales anteriores. En Clases y Tutores damos [clases de cálculo en línea](/cursos/calculo/), 1 a 1 por videollamada, con diagnóstico gratis.

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